算法基础:差分算法及模板应用

⭐写在前面的话:本系列文章旨在复习算法刷题中常用的基础算法与数据结构,配以详细的图例解释,总结相应的代码模板,同时结合例题以达到最佳的学习效果。本专栏面向算法零基础但有一定的C++基础的学习者。若C++基础不牢固,可参考:​​10min快速回顾C++语法​​,进行语法复习。

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算法基础:差分算法及模板应用

差分

一维差分

差分思想和前缀和是相反的。

首先我们先定义数组a, 其中a[1],a[2]...a[n]作为前缀和。

然后构造数组b,b[1],b[2]...b[n]为差分数组。其中通过差分数组的前缀和来表示a数组,即a[n] = b[1] + b[2]+...+b[n]。

一维差分数组的构造也很简单,即a[1] = b[1], b[2] = a[2] - a[1], b[n] = a[n] - a[n-1];

注意:刚开始时可以初始化数组a,b全部为0,输入a数组后;在构造时,只需要将b[1]看做在[1, 1]区间上加上a[1]; b[2] 看作在[2, 2]区间上加上a[2];

//eg:对于b[1]:
b[1] = 0 + a[1];
b[2] = 0 - a[1]; //最终:b[1] = a[1]
//对于b[2]:
b[2] = b[2] + a[2]; //==> 最终:b[2] = a[2] - a[1]
b[3] = b[3] - b[2];

差分数组的好处是可以简化运算,例如想要给一个区间 [l,r] 上的数组加一个常数c,原始的方法是依次加上c,这样的时间复杂度是O(n)的。但是如果采用差分数组的话,可以大大降低时间复杂度到O(1)。

由于a[n] = b[1] + b[2]+...+b[n],因此只需要将b[l] = b[l] + c 即可,这样l之后的数字会依次加上常数c,而在 b[r]处,将b[r+1] = b[r+1] - c ,这样r之后的数组又会恢复原值,仅需要处理这两个边界的差分数组即可,时间复杂度大大降低。

算法基础:差分算法及模板应用

例题:差分

输入一个长度为 n 的整数序列。

接下来输入 m 个操作,每个操作包含三个整数 l,r,c,表示将序列中 [l,r] 之间的每个数加上 c。

请你输出进行完所有操作后的序列。

输入格式

第一行包含两个整数 n 和 m。

第二行包含 n 个整数,表示整数序列。

接下来 m 行,每行包含三个整数 l,r,c表示一个操作。

输出格式

共一行,包含 n 个整数,表示最终序列。

数据范围

1≤n,m≤100000, 1≤l≤r≤n, −1000≤c≤1000, −1000≤整数序列中元素的值≤1000

输入样例:

6 3
1 2 2 1 2 1
1 3 1
3 5 1
1 6 1

输出样例:

3 4 5 3 4 2
代码模板
#include<iostream>
using namespace std;

const int N = 100010;

int m,n;
int a[N],b[N];

void insert(int l, int r , int c)
{
b[l] += c;
b[r+1] -= c;
}

int main()
{
scanf("%d%d",&n, &m);
for(int i = 1; i <= n; i++)scanf("%d",&a[i]);
//插入的方式形成b[i]
for(int i = 1; i <= n; i++) insert(i, i, a[i]);

while(m--)
{
int l, r ,c;
scanf("%d%d%d",&l, &r, &c);
insert(l, r, c);

}
for(int i = 1; i <= n; i++) b[i] += b[i - 1];

for(int i = 1; i <= n; i++) printf("%d ", b[i]);

return 0;
}

二维差分

将a[i][j]表示为一个差分数列b[i][j]的和即可。如下所示:

算法基础:差分算法及模板应用

基本思路:给其中的一个子矩阵加上一个值。矩阵以外的减去一个值即可。

可列公式表示各个范围如下:

算法基础:差分算法及模板应用

算法基础:差分算法及模板应用

算法基础:差分算法及模板应用

$b[x_2 + 1][y_2 + 1] += C; $

算法基础:差分算法及模板应用

由上面范围,可以求得最终要算的小正方形的面积公式:

算法基础:差分算法及模板应用

矩阵的初始化;

假定a[i][j] = 0,b[i][j] =0,然后读取数组a,只需要对b进行插入即可。b[i][j]相当于从(i,j)到(i,j)插入一个a[i][j]形成的。

最后求a[i][j]只需要求解b[i][j]的前缀和即可。

例题:差分矩阵

输入一个 n 行 m 列的整数矩阵,再输入 q 个操作,每个操作包含五个整数 x1,y1,x2,y2,c,其中 (x1,y1) 和 (x2,y2)表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。

每个操作都要将选中的子矩阵中的每个元素的值加上 c。

请你将进行完所有操作后的矩阵输出。

输入格式

第一行包含整数 n,m,q

接下来 n 行,每行包含 m 个整数,表示整数矩阵。

接下来 q 行,每行包含 5 个整数 x1,y1,x2,y2,c表示一个操作。

输出格式

共 n 行,每行 m 个整数,表示所有操作进行完毕后的最终矩阵。

数据范围

1≤n,m≤1000 1≤q≤100000 1≤x1≤x2≤n 1≤y1≤y2≤m −1000≤c≤1000 −1000≤矩阵内元素的值≤1000

输入样例:

3 4 3
1 2 2 1
3 2 2 1
1 1 1 1
1 1 2 2 1
1 3 2 3 2
3 1 3 4 1
2 3 4 1
4 3 4 1
2 2 2 2
代码模板
#include<iostream>
using namespace std;

const int N =1010;

int a[N][N],b[N][N];
int n, m ,q;

void insert(int x1, int y1, int x2, int y2, int c)
{
b[x1][y1] += c;
b[x2 + 1][y1] -= c;
b[x1][y2 +1] -= c;
b[x2 +1][y2+1] +=c;
}


int main()
{
scanf("%d%d%d", &n, &m, &q);

for(int i = 1; i <= n; i++)
for(int j = 1; j <= m; j++)
scanf("%d", &a[i][j]);


for(int i = 1; i <= n; i++)
for(int j = 1; j <= m; j++)
insert(i, j, i, j, a[i][j]);

while( q-- )
{
int x1, x2, y1, y2, c;
cin >> x1 >> y1>> x2 >> y2 >> c;
insert(x1,y1, x2, y2, c);
}

//求前缀和

for(int i = 1; i<=n; i++)
for(int j = 1; j<= m; j++)
b[i][j] += b[i-1][j] +b[i][j-1] -b[i-1][j-1];

for(int i = 1; i<=n; i++)
{
for(int j = 1; j<= m; j++)
printf("%d ", b[i][j]);
puts("");
}
return 0;
}
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